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Molte applicazioni hi-tech per smartphone e tablet utilizzano funzionalitร rese possibili dallโintegrazione di un accelerometro. Scopriamo come funziona questo componente e in che modo si utilizza.
Fino ad alcuni anni fa solo fisici e ingegneri avrebbero saputo dire cosa รจ un accelerometro, mentre oggi molti utenti di tablet e smartphone lo conoscono come quel sensore che permette di adattare la visualizzazione dello schermo (Fig. 1), ma anche come il sensore che nelle moderne console di gioco (per esempio Nintendo Wii) rileva il movimento del giocatore.
Usciti dal tradizionale campo di applicazione scientifico, soprattutto aerospaziale, gli accelerometri sono oggi utilizzati, oltre che nei dispositivi โmobileโ, anche in campo automobilistico, nellโautomazione, nellโanalisi di sistemi meccanici e robotici. Tra le applicazioni che sfruttano gli accelerometri non puรฒ non essere menzionato il segway, un mezzo di trasporto che si mantiene in equilibrio su due ruote e il cui funzionamento รจ reso possibile dallโimpiego di accelerometri, oltre che di giroscopi. Sistemi intelligenti di navigazione e di sicurezza montati sui mezzi di trasporto fanno inoltre sovente uso di accelerometri in combinazione con giroscopi e magnetometri.
Un accelerometro, come dice il nome stesso, รจ un dispositivo in grado di rilevare e misurare unโaccelerazione cioรจ fisicamente una variazione di velocitร nel tempo, anche se, come vedremo, ciรฒ non comporta necessariamente che il dispositivo sia in movimento (si pensi allโaccelerazione di gravitร ).
Lโimportanza assunta dagli accelerometri, soprattutto MEMS (la tecnologia con cui sono realizzati quelli per lโelettronica โmobileโ e consumer) ci ha spinto a dedicare un articolo a tali componenti, dove spieghiamo il principio di funzionamento, ricorrendo a una descrizione analitica (modello matematico).
Principio di funzionamento
Sebbene gli accelerometri MEMS siano, oltre che estremamente piccoli, anche tecnologicamente avanzati, come principio di funzionamento non differiscono molto da un accelerometro tradizionale di tipo meccanico. Tale dispositivo misura le accelerazioni dellโoggetto su cui รจ montato, anzi, per lโesattezza, rileva una forza, ma siccome, in base alla Seconda legge della dinamica di Newton le due cose sono legate dalla massa dellโoggetto utilizzato a riferimento (che resta costante), il discorso รจ ugualmente valido.
Capite ciรฒ considerando che un accelerometro tradizionale meccanico contiene una massa (caratterizzata da un peso, il quale รจ pari alla massa moltiplicata per lโaccelerazione di gravitร , pari a circa 9.81 m/sยฒ) collegata a una molla che presenta lโaltra estremitร fissata alla parete interna di un involucro. Detta massa in Fig. 2 รจ rappresentata da una sfera.
Se lโinvolucro viene sottoposto a una forza o a unโaccelerazione, anche la massa al suo interno si muove allungando o comprimendo la molla. Supponendo che la molla sia orientata nella direzione del movimento (verticale per esempio), misurando la compressione o lโallungamento della molla รจ possibile determinare lโaccelerazione dellโinvolucro.
Se si usano tre accelerometri orientati lungo le tre direzioni spaziali, x, y e z, si possono anche misurare le componenti dellโaccelerazione dellโoggetto nello spazio (Fig. 3).
Il principio di funzionamento di un accelerometro รจ quindi basato sullโinerzia di una massa sottoposta ad unโaccelerazione. La massa si sposta rispetto allโinvolucro, in direzione opposta allโaccelerazione, di una quantitร proporzionale allโaccelerazione stessa e alla massa, e inversamente proporzionale alla costante elastica della molla.
Un accelerometro elettronico sfrutta lo stesso principio e in piรน trasforma lo spostamento in un segnale elettrico che puรฒ essere acquisito e utilizzato da una MCU.
Fig. 3 Utilizzando tre accelerometri orientati lungo le tre direzioni spaziali x, y e z si ottiene un sistema in grado di misurare le componenti dellโaccelerazione nello spazio.
La schematizzazione di Fig. 2 puรฒ essere resa piรน reale modificandola come in Fig. 4, dove la sfera รจ posizionata al centro di un cubo ed รจ ivi sospesa attraverso tre coppie di molle agganciate, ciascuna, da una estremitร alla sfera e dallโaltra al centro della rispettiva faccia del cubo.
Fig. 4 Modello meccanico di un accelerometro a tre assi.
Muovendo il cubo nello spazio, la sfera si sposta rispetto allโinvolucro, dalla sua posizione di equilibrio iniziale; a tale movimento si oppongono le molle, che si allungano e comprimono mantenendola sospesa. Ciascuna coppia di molle รจ ortogonale alle altre due e si trova disposta nella direzione di uno degli assi cartesiani.
A causa della forza di gravitร , lโeffetto reale che si osserva, in condizioni di riposo, non รจ quello di Fig. 4, ma quello di Fig. 5 (nellโipotesi che la gravitร agisca in direzione perpendicolare al piano xy).
Fig. 5 Modello meccanico di un accelerometro a tre assi.in condizioni di riposo soggetto alla gravitร (diretta lungo z).
Tipologie di accelerometri
Esistono accelerometri a un solo asse, a due o a tre assi; considerate che con uno a tre assi รจ possibile fare tutto quello che si puรฒ fare anche con un accelerometro a uno o due assi ma a costo ovviamente maggiore. Tipologia (principio di conversione da grandezza fisica a grandezza elettrica), caratteristiche tecniche, sensibilitร e costo determinano il campo applicativo di un accelerometro. In generale, gli accelerometri possono essere divisi in due categorie:
– per misure di accelerazioni statiche;
– per misure di accelerazioni dinamiche.
Gli accelerometri per misure di accelerazione dinamica non sono in grado di rilevare accelerazioni statiche (come quella di gravitร )essendo fatti per rilevare accelerazioni che variano nel tempo come quelle generate dalle vibrazioni o negli urti.
Accelerometri di questo tipo sono quelli piezoelettrici. Esistono anche accelerometri in grado di rilevare entrambi i tipi di accelerazione. Tra le caratteristiche da tenere in considerazione nella scelta di un accelerometro cโรจ anche la banda passante, che deve essere commisurata alla rapiditร con cui evolve il fenomeno da rilevare.
La miniaturizzazione dellโelettronica consente oggi lโintegrazione, nel package del sensore, anche dei circuiti che servono a condizionare il segnale; grazie ad essi, non solo il sensore riceve la corretta alimentazione, ma รจ anche in grado di amplificare e filtrare adeguatamente il segnale e in alcuni casi di eseguire operazioni piรน complesse come la linearizzazione della propria caratteristica di trasferimento.
Di seguito descriviamo le principali tipologie di accelerometri distinte in base al principio di conversione dellโaccelerazione in segnale elettrico.
Accelerometro estensimetrico
Si tratta di un accelerometro a ponte che sfrutta come principio la variazione di resistenza di un estensimetro provocata da una variazione di lunghezza generata a sua volta da unโaccelerazione. In esso una massa viene sospesa su dei sottili lamierini sui quali sono fissati degli estensimetri collegati a ponte di Wheatstone.
In presenza di unโaccelerazione, la massa si sposta, i lamierini si flettono e gli estensimetri subiscono un allungamento che genera una variazione di resistenza. La tensione di sbilanciamento del ponte Wheatstone che ne consegue, risulta in tal modo proporzionale allโaccelerazione e la sua misura consente di risalire al valore di accelerazione. Una variante dellโaccelerometro estensimetrico รจ quello piezoresistivo, che differisce perchรฉ impiega sensori piezoresistivi al posto di quelli estensimetrici.
Accelerometro LVDT
Acronimo di Linear Variable Differential Transformer, questo accelerometro sfrutta ancora lo spostamento di una massa ma ne rileva lโentitร secondo un principio differente; la massa, realizzata in materiale ferromagnetico, รจ sospesa su molle o elementi elastici allโinterno di un canale attorno al quale sono avvolte delle bobine.
Lโeffetto induttivo dovuto al movimento della massa, che fa da nucleo, puรฒ essere misurato elettricamente. Da esso รจ possibile risalire allโandamento della posizione del nucleo rispetto alle bobine e quindi allโaccelerazione cui la massa รจ soggetta.
Accelerometro capacitivo
Rileva lo spostamento della massa misurando la variazione della capacitร di un condensatore, la cui distanza tra le armature varia a seguito dellโaccelerazione. In pratica, la massa mobile รจ contrastata da un elemento elastico antagonista (tipicamente una membrana) e costituisce unโarmatura del condensatore, mentre lโaltra armatura รจ fissa.
La variazione di capacitร risulta pertanto proporzionale allo spostamento dellโarmatura mobile e quindi allโaccelerazione cui il sensore รจ sottoposto. Un circuito capacimetro in grado di generare un segnale elettrico proporzionale alla variazione di capacitร consente la misura dellโaccelerazione.
Accelerometro piezoelettrico
Sfrutta la tensione che un cristallo piezoelettrico genera quando รจ sottoposto a compressione. La massa viene sospesa sul cristallo piezoelettrico che fa quindi sia da sensore che da elemento elastico. In presenza di accelerazione, la massa modifica la pressione esercitata sul cristallo, che genera un segnale elettrico proporzionale. Si tratta di accelerometri spesso poco sensibili.
Questo aspetto, sebbene in alcune applicazioni risulti indesiderato, in altre puรฒ risultare vantaggioso, specie quando รจ necessario rilevare accelerazioni elevatissime (anche centinaia di g). Sebbene il cristallo generi un segnale elettrico proporzionale alla compressione, se questa permane, il segnale tende a scomparire, quindi un accelerometro del genere non รจ adatto a rilevare accelerazioni statiche ma solo accelerazioni dinamiche.
Accelerometro laser
ร un sensore utilizzato quando serve effettuare misure estremamente precise; misura istante per istante lo spostamento dellโoggetto e un controllore o una MCU acquisisce questa informazione e calcola lโaccelerazione dellโoggetto come derivata seconda della posizione rispetto al tempo. Ha il vantaggio di poter essere utilizzato anche non montato sullโoggetto in movimento.
Accelerometri MEMS
Bene, dedichiamoci ora agli accelerometri piรน utilizzati. La tecnologia MEMS non riguarda solo i moderni accelerometri ma anche altri tipi di sensori. Un minuscolo chip di silicio diventa ora un sensore di pressione, ora un accelerometro, ora un giroscopio e cosรฌ via, integrando spesso non solo le funzioni di rilevazione ma anche quelle di elaborazione e attuazione.
La sigla MEMS sta per Micro Electro-Mechanical Systems e identifica sensori la cui dimensione media รจ dellโordine del micron e che integrano parti il cui comportamento coinvolge sia la meccanica che lโelettronica, sullo stesso substrato di silicio, coniugando le proprietร elettriche dei semiconduttori con quelle opto-meccaniche. Le applicazioni di questa tecnologia si sono rapidamente diffuse sconfinando ben presto nel mercato delle applicazioni consumer. La tecnologia รจ in continua evoluzione, tanto che giร si parla di Nano Electro-Mechanical System o NEMS.
Lโaccelerometro, sebbene sia su chip di silicio, รจ ancora costituito da una massa, stavolta composta da lamelle mobili e fisse tra loro intercalate; lโaccelerazione le fa deformare determinando una variazione della distanza tra esse e quindi della capacitร (Fig. 6 e Fig. 7). In Fig. 8 รจ riportata la struttura di un accelerometro MEMS visto al microscopio elettronico, che conferma la struttura schematizzata in Fig. 6. La struttura superiore (upper proof mass) si comporta meccanicamente come una molla; la forza di gravitร o unโaccelerazione esterna del package ne causano la deformazione. La struttura รจ elettricamente assimilabile a un condensatore a tre armature, come schematizzato in Fig. 7. Il circuito interno converte la variazione di capacitร in un segnale elettrico analogico o digitale.
Fig. 6 Nellโaccelerometro MEMS cโรจ una massa composta da lamine mobili intercalate a lamine fisse; la deflessione di quelle mobili provoca una variazione di capacitร consentendo la trasduzione dellโaccelerazione in segnale elettrico.
Fig. 7 Modello equivalente elettrico di un accelerometro MEMS.
Fig. 8 Immagine ripresa al microscopio elettronico di un accelerometro MEMS. Si notano la massa fissa e la massa mobile.
Lโaccelerometro come inclinometro
Un modo per determinare lโinclinazione (tilt sensing) di un oggetto consiste nellโintegrare lโuscita di un giroscopio. Grazie alla capacitร di sentire unโaccelerazione (e quindi anche lโaccelerazione di gravitร ), anche un accelerometro puรฒ essere utilizzato per misurare lโinclinazione. In unโapplicazione di tilt sensing si considera lโaccelerazione di gravitร come lโunica agente sul dispositivo. Questo significa, tra le altre cose, ignorare accelerazioni superiori a 1g (dove con g indichiamo, come รจ convenzione, lโaccelerazione di gravitร ) oltre alla possibilitร di utilizzare sensori con campo di misura relativamente contenuto.
Con riferimento allo schema di principio di Fig. 5, in presenza della sola gravitร , la direzione le cui molle si allungano soltanto ma non si comprimono, รจ quella lungo la quale non vi รจ accelerazione. Tali direzioni possono essere evidentemente una o due, ma mai tre (condizione assurda geometricamente) e nemmeno zero, poichรฉ significherebbe assenza di gravitร (ammesso che lโaccelerometro sia fermo e non in caduta libera).
Dallโallungamento e compressione delle molle, con un poโ di trigonometria รจ possibile capire come lโoggetto รจ inclinato. Da un punto di vista fisico il tutto รจ esatto a patto che lโoggetto non sia sottoposto ad altre accelerazioni ad eccezione di quella di gravitร . Per non incorrere in errori di terminologia รจ opportuno definire, a questo punto, cosa si intenda con i termini angolo di Roll, Pitch e Yaw che significano rispettivamente rollรฌo, beccheggio e imbardata e che sono presi in prestito dal volo.
Se consideriamo x lโasse diretto dalla coda alla testa di un velivolo, y quello diretto dallโala sinistra a quella destra e z quello diretto perpendicolarmente ai primi due a formare una terna destrogira (diretto quindi come la gravitร , se il velivolo รจ in assetto orizzontale) allora una rotazione del velivolo intorno ad x prende il nome di rollio (Roll), intorno a y di beccheggio (Pitch) e intorno a z di imbardata (Yaw).
Dunque, se gli assi x e y dellโaccelerometro si trovano sul piano dellโorizzonte e z รจ quindi perpendicolare a esso, lโaccelerometro รจ in grado di rilevare, a partire da questa posizione, un rollio o un beccheggio, ma non unโimbardata, perchรฉ la rotazione intorno a z non provoca alcuna variazione nella scomposizione dellโaccelerazione di gravitร lungo i tre assi. In pratica per rilevare anche lโangolo di imbardata sarebbe necessario aggiungere al sistema un giroscopio.
La Fig. 9 รจ esplicativa a riguardo, poichรฉ mostra le uscite analogiche dellโaccelerometro in diverse posizioni (assetti rispetto allโaccelerazione di gravitร ).
Fig. 9 Uscite analogiche dellโaccelerometro in diverse assetti rispetto allโaccelerazione di gravitร .
Nella condizione in cui solo la componente z รจ non nulla, possiamo dire che lโoggetto ha assunto posizione orizzontale ma non รจ possibile affermare di quale degli infiniti assetti orizzontali si tratti. Analogamente, quando lโasse y diventa parallelo allโaccelerazione di gravitร , qualunque rotazione intorno ad y genera sempre la stessa uscita (Xout=o, Yout=ยฑg, Zout=0) e qualcosa di analogo puรฒ dirsi quando lโaccelerometro ruota intorno ad un asse generico purchรฉ parallelo allโaccelerazione di gravitร . Queste osservazioni consentono di capire perchรฉ lโaffermazione secondo la quale un accelerometro a tre assi consente di determinare lโorientamento dellโoggetto nello spazio non รจ del tutto corretta.
Lโassunzione principale รจ che lโunica accelerazione cui lโaccelerometro รจ soggetto รจ quella di gravitร ; nella pratica, anche se il segnale proveniente dallโaccelerometro non รฉ dovuto esclusivamente alla gravitร , se ne possono filtrare, per esempio, componenti ad alta frequenza che sicuramente non sono dovute alla gravitร .
La forza di gravitร รจ in ogni caso una forza statica cui corrisponde pertanto unโaccelerazione statica e qualunque altra accelerazione vi si sovrapponga tende a falsare la misura: pensate ad esempio a unโaccelerazione costante diversa dalla gravitร , come quella che si ha a bordo di un veicolo che aumenta o diminuisce gradualmente la sua velocitร con un tasso di variazione costante nel tempo lungo un percorso rettilineo, oppure a quella che si verifica a bordo di un veicolo che percorre a velocitร angolare costante una curva (cosa che comporta unโaccelerazione centripeta costante).
Per comprendere meglio il tutto descriviamo matematicamente il funzionamento dellโinclinometro.
Con riferimento ad un sistema a un solo asse (Fig. 10), ruotiamo di un angolo ฮธ lโaccelerometro disposto lungo lโasse x solidale con esso e inizialmente orientato lungo lโorizzontale.
Fig. 10 Accelerometro ruotato di un angolo ฮธ rispetto al piano orizzontale.
La proiezione del vettore di gravitร g sullโasse x รจ pari a:
AX,OUT [g] = 1 g sin(ฮธ) [1]
Questa relazione trigonometrica mostra una sensibilitร nella misura dellโangolo di inclinazione inferiore per angoli prossimi a zero e per angoli vicini a 90 gradi (Fig. 11).
Fig. 11 Tipico andamento dellโuscita di un accelerometro analogico a un solo asse in funzione dellโangolo di inclinazione.
Lโangolo di inclinazione in radianti puรฒ essere espresso dall relazione:
Una limitazione della misura su un solo asse รจ che non รจ possibile rilevare lโangolo di inclinazione in tutto il range di variazione pari a 360ยฐ dal momento che la componente lungo x dellโaccelerazione, in presenza di unโinclinazione Nยฐ, รจ la stessa che si ottiene per una inclinazione pari a 180ยฐ โ Nยฐ. Se si vuole distinguere lโinclinazione sugli interi 360ยฐ รจ necessario disporre di un accelerometro a due assi o di due accelerometri a un asse (Fig. 12).
Fig. 12 Tilt sensing per un accelerometro a due assi.
La componente dellโaccelerazione valutata lungo lโasse x รจ proporzionale al seno dellโangolo di inclinazione, quella lungo lโasse y รจ proporzionale al coseno. Quando la sensibilitร della misura si riduce lungo un asse, aumenta lungo lโaltro (Fig. 13).
Fig. 13 Uscite (componenti) di un accelerometro a due assi in funzione dellโangolo di inclinazione.
La possibilitร di misurare le due componenti consente di definire lโangolo di inclinazione come:
La funzione arcotangente restituisce un angolo del primo o del terzo quadrante se il rapporto AX,OUT/AY,OUT รจ positivo e del quarto o secondo quadrante se il rapporto risulta negativo. Per la corretta determinazione del quadrante si esamina il segno delle componenti dellโaccelerazione dal momento che in nessun quadrante abbiamo seno e coseno uguali in valore e segno a quelli di un angolo di un altro quadrante (Fig. 14).
Fig. 14 Con un accelerometro a due assi รจ possibile misurare lโinclinazione commettendo un errore piรน contenuto ed รจ possibile distinguere tra i diversi quadranti dal momento che in nessun quadrante abbiamo seno e coseno uguali, come valore e segno, a quelli di un angolo di un altro quadrante.
I
n un sistema a tre assi (Fig. 15) รจ possibile determinare lโorientamento di ciascuno degli assi dellโaccelerometro rispetto a una posizione di riferimento in cui tipicamente gli assi x ed y coincidono con il piano orizzontale (perpendicolare a g) e lโasse z รจ perpendicolare a questo piano (quindi coincidente con la gravitร ). ฮธ รจ lโangolo tra il piano orizzontale e lโasse x dellโaccelerometro, ฯ quello tra il piano orizzontale e lโasse y dellโaccelerometro e ฯ quello tra la gravitร e lโasse z.
Fig. 15 Con un accelerometro a tre assi รจ possibile determinare lโorientamento di ciascuno degli assi dellโaccelerometro rispetto a una posizione di riferimento.
Considerando come posizione iniziale quella in cui g coincide con lโasse z tutti gli angoli sono nulli, i tre angoli risultano espressi dalle seguenti relazioni:
Se lโaccelerometro รจ fermo nella posizione iniziale solo Az รจ non nulla e i tre angoli risultano nulli come ci aspettiamo.
Qualche considerazione
Gli accelerometri in commercio si suddividono in analogici e digitali. I primi sono caratterizzati da tante uscite analogiche quanti sono gli assi di misura. Ciascuna uscita รจ rappresentata elettricamente da una tensione proporzionale al valore della componente dellโaccelerazione lungo quellโasse espressa come fattore di g. Se per esempio si impiega un accelerometro analogico funzionante tra 0V e 2V, in grado di misurare al massimo 1g, allora abbiamo sugli assi uscita 1V quando lโaccelerazione vale 0g, 2V se vale 1g e 0V se vale -1g. Interfacciando a un accelerometro analogico una MCU che integri dei convertitori A/D รจ possibile digitalizzare ed elaborare la misura.
Spesso si presenta la necessitร di condizionare il segnale analogico a causa del rumore che si sovrappone al segnale stesso e che si manifesta come una continua oscillazione dei valori analogici prodotti, anche se lโaccelerometro รจ fermo (questo effetto puรฒ essere ridotto utilizzando opportuni filtri passa-basso).
Gli accelerometri digitali aggiungono semplicemente alla parte analogica la digitalizzazione del segnale e presentano tipicamente una linea di comunicazione con la MCU di tipo IยฒC o SPI. Un accelerometro che funzioni in maniera appropriata deve inoltre essere caratterizzato da un offset il piรน contenuto possibile, idealmente zero e da una sensibilitร sufficientemente elevata, commisurata alla specifica applicazione.
Limitandoci alla questione dellโoffset e riferendoci a un accelerometro a due assi, se consideriamo un offset di 50 mg lungo lโasse x (dove g รจ lโaccelerazione di gravitร ), a 0ยฐ lโasse x legge 50 mg anche se dovrebbe leggere 0 mentre lโasse y legge 1 g da cui consegue un errore di 2,9ยฐ. Lโerrore varia in funzione dellโorientamento come rappresentato in Fig. 16. Queste poche considerazioni servono a darci unโidea del legame che esiste tra le caratteristiche di un accelerometro e gli errori piรน elementari insiti nella misura.
Fig. 16 Lโoffset di misura ha un peso sullโerrore che รจ funzione dellโangolo di inclinazione da misurare.
Modello matematico basato sulle matrici di rotazione
Vogliamo ora mostrare come puรฒ essere descritto il funzionamento di un accelerometro a tre assi con lโausilio delle matrici di rotazione. Prima di procedere, occorre sottolineare alcuni concetti:
1. un accelerometro a tre assi รจ caratterizzato da una terna di assi solidali con se stesso; se รจ soggetto a unโaccelerazione diretta lungo uno solo di questi assi solo quella uscita risulterร diversa da zero, diversamente saranno diverse da zero tutte le uscite lungo i quali assi il vettore accelerazione presenta componente non nulla;
2. fino a questo momento abbiamo considerato lโaccelerazione di gravitร come lโunica agente sullโaccelerometro; in generale, un accelerometro misura la differenza tra lโaccelerazione lineare e lโaccelerazione di gravitร , di conseguenza, in assenza di accelerazione lineare (oggetto fermo o in movimento a velocitร costante in una direzione fissa) lโaccelerometro รจ in grado di misurare le componenti dellโaccelerazione g lungo i suoi tre assi;
3. un oggetto puรฒ essere portato in un determinato assetto nello spazio seguendo tre rotazioni che secondo il linguaggio aeronautico sono le rotazioni di rollio (roll), beccheggio (pitch) e imbardata (yaw), da eseguire convenzionalmente secondo questa sequenza poichรฉ lโassetto finale dipende non solo dal valore delle singole rotazioni ma anche dallโordine con cui esse si susseguono;
4. un movimento intorno a un solo asse coincidente con il vettore gravitร non puรฒ essere rilevato da un accelerometro perchรฉ le tre componenti del vettore g rimangono invariate.
Prendendo ad esempio uno smartphone, nel prosieguo utilizzeremo il sistema di riferimento destrogiro solidale con lโapparecchio (e con lโaccelerometro in esso integrato) riportato in Fig. 17. Lโasse z รจ pertanto orientato verso il basso, cioรจ lungo il vettore g quando si poggia lโapparecchio sul piano di un tavolo con lo schermo rivolto verso di noi.
Fig. 17 Sistema di coordinate associato allโaccelerometro e quindi allโapparecchio nel quale esso รจ integrato.
Un cambiamento dellโorientamento del dispositivo puรฒ essere descritto da una sequenza di rotazioni ฯ (roll), pitch (ฮธ) e ฯ (yaw) intorno rispettivamente agli assi x, y e z. Lโaccelerometro fornisce uscita +1g per qualunque asse orientato nella direzione dellโaccelerazione di gravitร . Quanto detto al punto 2) puรฒ essere espresso analiticamente dalla seguente relazione:
dove Gp รจ il vettore colonna avente come componenti le proiezioni del vettore g sui tre assi dellโaccelerometro, R รจ la matrice di rotazione che esprime lโorientamento dello smartphone rispetto ad una posizione iniziale di riferimento, g ed a i due vettori di accelerazione (di gravitร e lineare rispettivamente).
La precedente relazione รจ coerente con il fatto che se lo smartphone viene lasciato cadere (caduta libera) assumendo accelerazione lineare pari a g, ne consegue che Gp=0. Si suppone che lโaccelerazione lineare sia nulla e che lโorientamento iniziale dello smartphone sia orizzontale, con lโasse z coincidente con la direzione del vettore accelerazione di gravitร . La relazione precedente si riduce cosรฌ a:
dove Gpx, Gpy e Gpz sono le tre componenti dellโuscita dellโaccelerometro.
Nei precedenti paragrafi abbiamo introdotto la matrice di rotazione senza darne una definizione rigorosa. In due dimensioni (quindi nel piano), una rotazione รจ una trasformazione R(ฮธ), che dipende da un angolo ฮธ, e che trasforma il vettore (x; y) nel vettore:
xโ = x cos ๏ฑ โ y sin ๏ฑ
yโ = x sin ๏ฑ + y cos ๏ฑ
ร facile verificare, di conseguenza, applicando le regole del prodotto matriciale, che il nuovo vettore puรฒ essere espresso dal seguente prodotto:
La matrice quadrata presente in questa espressione รจ chiamata โMatrice di rotazioneโ e descrive analiticamente la rotazione antioraria di angolo ฮธ del vettore originario intorno allโorigine.
Vi risparmiamo la trattazione matematica del caso, relativa allโevoluzione nello spazio piuttosto che nel piano, perchรฉ per complessitร esula dagli scopi di questo articolo; chi vorrร approfondire la materia potrร trovare documentazione sul web NXP.
Nello spazio, esistono (si rimanda al suddetto riferimento) sei possibili combinazioni che portano a sei differenti risultati ognuno suscettibile di poter esprimere le componenti del vettore g dopo tre distinte rotazioni riferite ai singoli assi. In ciascuno di questi casi abbiamo una matrice di rotazione che puรฒ essere vista come il prodotto delle singole matrici di rotazioni ciascuna relativa ad uno dei tre assi.
Lโaccelerometro presenta tre uscite (le componenti del vettore g lungo i tre assi) ma esse sono vincolate sempre a dare come modulo del vettore 1g (supponendo presente la sola accelerazione di gravitร ). Comunque venga ruotato il sistema di riferimento solidale con lโaccelerometro pertanto, note due componenti, la terza รจ definita automaticamente poichรฉ il vettore accelerazione cadrร sempre sulla superficie di una sfera di raggio 1g. Il sistema gode cioรจ di due soli gradi di libertร . Ne consegue che gli ultimi quattro sistemi di equazioni non possono essere risolti in ฯ, ฮธ e ฯ mentre i primi due sรฌ essendo le relative equazioni dipendenti da due soli angoli (roll e pitch).
In pratica, qualunque nuovo orientamento dal punto di vista della scomposizione di g lungo i nuovi assi di riferimento puรฒ ottenersi dalla sequenza di due sole rotazioni una di roll e lโaltra di pitch. Lโassenza della rotazione di yaw รจ fisicamente legata al fatto che il sistema dal punto di vista della scomposizione di g lungo le tre direzioni รจ insensibile a qualunque rotazione intorno a z. In altri termini se poniamo il nostro smartphone poggiato orizzontalmente sul tavolo e ne variamo lโorientamento lasciandolo perรฒ sempre orizzontale, il suo accelerometro non si accorge della variazione di assetto che stiamo apportando. Qualunque nuovo assetto diamo lasciando orizzontale lโapparecchio e ruotandolo intorno alla direzione di g, non viene avvertito.
Lโorientamento dello smartphone, a partire dai tre valori ottenuti dallโaccelerometro, puรฒ essere quindi ottenuto dalla risoluzione del primo sistema di equazioni o in alternativa del secondo eliminando la rotazione yaw e considerando due sole rotazioni roll e pitch.
Calcolo dellโinclinazione
Se lโaccelerometro รจ in grado di restituire le componenti di g lungo i suoi tre assi, il prodotto scalare tra il vettore Gp avente queste componenti ed il versore dellโasse z (solidale con lo smartphone) fornisce la componente z dellโaccelerazione di gravitร (Fig. 18).
Fig. 18 Se lโaccelerometro restituisce le componenti di g lungo i suoi tre assi, il prodotto scalare tra questo vettore (Gp) e il versore dellโasse z (solidale con lo smartphone) fornisce la componente z dellโaccelerazione di gravitร .
Senza scendere troppo nel dettaglio, diciamo che vale la relazione:
dalla quale รจ possibile calcolare lโangolo di inclinazione dellโasse z dellโaccelerometro e quindi del dispositivo allโinterno del quale lo stesso รจ montato rispetto alla verticale (vettore gravitร ).
Orientamento automatico
La prima applicazione su larga scala dellโaccelerometro รจ stata la visualizzazione automatica dellโorientamento delle immagini sul display di smatphone e tablet. La Fig. 19 esemplifica il concetto. Sulla base di quanto esposto fino a questo momento, lโoperazione puรฒ sembrare relativamente agevole da implementare grazie allโaccelerometro. In realtร essa nasconde una complicazione.
Fig. 19 Orientazione automatica (modalitร portrait e landscape) delle immagini visualizzate sul display di un tablet.
Infatti, da qualunque delle quattro configurazioni di figura si parta รจ necessario che lโorientamento dellโimmagine venga mantenuta quando si โcoricaโ il tablet in maniera tale da disporlo orizzontalmente cioรจ con il display parallelo ad un tavolo che consideriamo come piano di appoggio. In questo stato infatti, qualunque dei quattro orientamenti dellโimmagine, rispetto allo smartphone, sarebbe ugualmente valido dal punto di vista della scomposizione del vettore g (ma non dal punto di vista dellโutente!).
Evidentemente, per decidere correttamente lโorientamento dellโimmagine quando si โcoricaโ lo smartphone รจ necessario non solo riconoscere la posizione orizzontale ma avere anche informazione su quale sia lo stato da cui si proviene. ร facile comprendere che una macchina a stati finiti basata sulle transizioni seguenti sia in grado di risolvere il problema:
(|Gpz|<0,5g)AND(|Gpx|>0,5g)AND(|Gpy|<0,4g) โ cambia lโorientamento in TOP
(|Gpz|<0,5g)AND(|Gpx|<-0,5g)AND(|Gpy|<0,4g) โ cambia lโorientamento in BOTTOM
(|Gpz|<0,5g)AND(|Gpy|>0,5g)AND(|Gpx|<0,4g) โ cambia lโorientamento in RIGHT
(|Gpz|<0,5g)AND(|Gpy|<-0,5g)AND(|Gpx|<0,4g) โ cambia lโorientamento in LEFT
Grazie alla sua implementazione, non solo la macchina รจ in grado di determinare correttamente la visualizzazione dellโimmagine quando il display non รจ coricato, ma รจ anche in grado di lasciarla inalterata nel momento in cui, partendo da una di queste condizioni, lo si โcoricaโ. Infatti, questโultima transizione porta alla condizione |Gpz|=1 per cui nessuna delle quattro condizioni precedenti รจ rispettata e lโorientamento dellโimmagine rimane invariato.
Applicazioni basate sullโaccelerometro
Oggi esistono numerose applicazioni per smartphone che sfruttano le potenzialitร dellโaccelerometro. Alcuni sono a tutti gli effetti dei giochi, altri hanno invece una reale utilitร pratica. Ne citiamo alcune scaricabili gratuitamente e con le quali il lettore potrร condurre semplici e utili esperimenti.
Sensor Kinetics – ร unโapplicazione che consente di monitorare i sensori integrati nel proprio smartphone (di solito nel nostro smartphone sono integrati almeno un magnetometro e un sensore di prossimitร oltre allโaccelerometro). Lโapplicazione consente di monitorare le componenti x, y e z dellโaccelerazione di gravitร e di tracciarle in un grafico temporale (Fig. 20). Il secondo grafico riporta la misura dellโaccelerazione mentre lo smartphone esegue la seguente evoluzione: verticale per circa tre secondi, coricato sul piano del tavolo per altri tre secondi, coricato di taglio sul lato lungo sinistro per ulteriori tre secondi. Si deduce facilmente che lโasse y coincide con la direzione in lunghezza del dispositivo, lโasse z con la perpendicolare al piano del display mentre il terzo asse coincide con il lato corto del dispositivo. Il terzo grafico temporale mostra unโevoluzione simile a meno dellโultima variazione di posizione che porta il dispositivo a essere posizionato verticalmente ma a testa in giรน da cui lโaccelerazione negativa misurata lungo lโasse y.
Fig. 20 A sinistra, la schermata principale di Semnsor Kinetics e a destra il tracciamento temporale delle componenti dellโaccelerazione di gravitร .
Livella – La livella (Fig. 21) รจ unโapplicazione insensibile alle rotazioni intorno ad un asse parallelo allโaccelerazione di gravitร , che consente di misurare lโinclinazione del display rispetto a un piano orizzontale. Si tratta in pratica dellโinclinometro trattato nei precedenti paragrafi.
Fig. 21 Livella elettronica implementata come applicazione Android per smartphone.
Contapassi – Attraverso lโaccelerometro รจ possibile rilevare la regolaritร con cui si susseguono i nostri passi quando portiamo con noi il nostro smartphone. Di conseguenza รจ possibile realizzare delle applicazioni che sentendo tale regolaritร sono in grado di fungere da contapassi elettronico (Fig. 22).
Misuratore di distanze – Sfruttando la trigonometria si puรฒ usare lโaccelerometro per misurare una distanza. Fissata lโaltezza cui si tiene lo smartphone, si punta la fotocamera in esso integrata al suolo nel punto di cui si intende calcolare la distanza. Lโapparecchio misura lโinclinazione del dispositivo. Questa informazione, unitamente allโaltezza alla quale teniamo il dispositivo (dato che inseriamo come taratura), consente di ricavare lโinformazione desiderata con semplici calcoli trigonometrici. Si potrebbero citare altre applicazioni simili che consentono il controllo del dispositivo tramite โgestureโ, che per esempio cancellano lo schermo quando si agita lo smartphone o che ne bloccano la sveglia quando lo capovolgiamo. Lasciamo al lettore il compito di arricchire la lista.
Fig. 22 Accuped, applicazione Contapassi elettronico o per smartphone.
Conclusioni
Gli accelerometri, i MEMS in particolare, sono entrati a far parte della nostra vita quotidiana; la possibilitร di rilevare una rotazione, di fare da inclinometro, di rilevare lโaccelerazione di parti meccaniche in movimento (si pensi alla misura dellโaccelerazione laterale nei veicoli, allo scopo di controllare le sbandate e attivare lโazionamento automatico del sistema di frenatura) rendono questi sensori utili in unโinfinitร di applicazioni. La misura dellโaccelerazione di bracci mobili, per esempio, risulta fondamentale in molte applicazioni della robotica e dellโautomazione.
Diversi modelli di accelerometri utilizzati sugli smartphone possono registrare fenomeni sismici perchรฉ capaci di garantire prestazioni prossime a quelle degli accelerometri professionali; in questโottica, alcuni centri di ricerca in ambito sismologico hanno intravisto la possibilitร di creare reti di rilevamento sismico basati sugli accelerometri contenuti in apparecchiature portatili come smartphone e computer di utenti civili.
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